Παρουσίαση/Προβολή

Στὀχοι

Το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στην Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων (Μ.Π.Σ.). Παρου­σιάζει την μαθηματική προσέγγιση και τις τεχνικές που παράγουν την Μ.Π.Σ., την ενιαία αλγο­ριθμική και προγραμματιστική έκφραση όλων των υλοποιήσεων της Μ.Π.Σ., και τον απλό και ενιαίο τρόπο που αντιμετωπίζει περίπλοκα και ποικίλα προβλήματα (μη γραμμικότητα, αστά­θεια, εξάρτηση από ιστορικό και χρόνο, πολλαπλά πεδία, φάσεις, κλίμακες κλπ.).

Από την οπτική γωνία εφαρμοσμένων μαθηματικών, το μάθημα λειτουργεί ως σύνοψη και επανάληψη των αριθμητικών μεθόδων, χάρις στο μεγάλο εύρος των αριθμητικών εργαλείων που παρουσιάζονται και χρησιμοποιούνται σε αυτό.

Οι απόφοιτοι αποκτούν βασικές γνώσεις για την Μ.Π.Σ. και δεξιότητες για τον προγραμματισμό και την χρήση της. Εμπεδώνουν τις γνώσεις υποβάθρου που ήδη έχουν από τις Π.Σ. και εξασκούνται να τις συνδυάζουν στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων εφαρμογής και στην αντιμετώπιση ερευνητικών ερωτημάτων. Εκτίθενται στις τεράστιες δυνατότητες της Μ.Π.Σ. και στα πολλαπλά πεδία έρευνας και εφαρμογής που εμπλέκονται με αυτήν. Τέλος, προετοιμάζονται για την χρήση της Μ.Π.Σ. σε έρευνα και σε εφαρμογές.

Περιεχόμενο μαθήματος

Περουσιάζονται απλά παραδείγματατα μαθηματικών μοντέλων, που περιγράφουν φυσικά ή ανθρωπογενή συστήματα και οδηγούν σε Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές παραγώγους (Μ.Δ.Ε.) επί χωρίων γενικής γεωμετρίας και τοπολογίας, οι οποίες, ως εκ τούτου, απαιτούν αριθμητική επίλυση.

Εισάγεται η «ασθενής» έκφραση διαφορικών προβλημάτων με ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις και εξηγείται πώς οι τελευταίες μετασχηματίζονται με χρήση ολοκληρωτικών τύπων ώστε να ελαχιστοποιούνται οι απαιτήσεις διαφορισιμότητας και συνέχειας.

Κατόπιν, εισάγεται  η διακριτοποίηση κατά Bubnov και Galerkin και δείχνεται πώς από τις ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις προκύπτουν συστήματα αλγεβρικών (ή απλών διαφορικών ως προς τον χρόνο) εξισώσεων με αριθμαναλυτικά επιθυμητές ιδιότητες (ως προς την αραιότητα, την συμμετρία, το θετικά ωρισμένο, κλπ.).

Γίνεται σύντομη επισκόπηση των τεχνικών που αξιοποιούν αυτές τις ιδιότητες και εξηγείται σε αδρές γραμμές η γενική αλγοριθμική και προγραμματιστική δομή των λογισμικών (εμπορικών ή κατά περίπτωση) που υλοποιούν την Μ.Π.Σ.

Τέλος, γίνεται επισκόπηση επιλεγμένων προχωρημένων προβλημάτων και κάποιων από τις τεχνικές με τις οποίες η Μ.Π.Σ. επεκτείνεται και γενικεύεται για την αντιμετώπισή τους.

Περίγραμμα Ύλης

Εισαγωγή. Κίνητρα και γενικό πλαίσιο εφαρμογής της Μ.Π.Σ. ως γενικής μεθόδου επίλυσης προβλημάτων Μ.Δ.Ε. Παρουσίαση της μητρωικής επίλυσης άμεσης δυσκαμψίας ως στοχευόμενου φορμαλισμού της Μ.Π.Σ.

Απλά 1-Δ προβλήματα σε ασθενή μορφή. Πρισματική ράβδος (σε εφελκυσμό/θλίψη, στρέψη, κύρια επίπεδη κάμψη) σε ασθενή μορφή με χρήση ολοκληρωτικών τύπων (προσέγγιση γενικής εφαρμογής, ανεξαρτήτως δυναμικού, θεωρημάτων ελαχίστου, κλπ.) Ολοκληρο­διαφορικές εξισώσεις πεδίου, απαιτήσεις διαφορισιμότητα και συνέχειας, είδη συνοριακών συνθηκών.

Διακριτοποίηση σε 1-Δ και Συναρτήσεις σχήματος. Είδη Π.Σ. (Lagrange, Hermite), αναλυτική και αριθμητική ολοκλήρωση (Gauss-Legendre), μητρώα ακαμψίας και μάζας, διανύσματα ενεργειακά ισοδύναμων («συνεπών») επικόμβιων φορτίσεων. Συνοπτικός προγραμματισμός βάσει μητρωικών πράξεων.

Πολυδιάστατα Π.Σ Lagrange. Τοπολογία (simplex, DeCartes, serendipity, wedge, κλπ.) και αντίστοιχες συναρτήσεις σχήματος. Ισοπαραμετρικά στοιχεία.

Επίλυση μεγάλων αραιών γραμμικών συστημάτων. Ατελείς παραγοντοποιήσεις και επαναλη­πτική επίλυση. Διανυσματικές μέθοδοι και Preconditioning. Συνδυαστικές προσεγγίσεις.

Χρονική εξάρτηση. Βηματική ολοκλήρωση (άμεσα και έμμεσα σχήματα). Γραμμικά προβλήματα (ιδιομορφική ανάλυση, φασματική ανάλυση).

Μη γραμμικότητα. Πηγές (γεωμετρική, καταστατική). Αντιμετώπιση (quasi-Newton, κλπ.)

Εισαγωγή σε ειδικά θέματα. Υπερ-στοιχεία, Πολλαπλά ασύμβατα πεδία, Πεπερασμένες στροφές, Locking, Μικτές μορφώσεις, Ατελής ολοκλήρωση, κλπ.

Μέθοδοι διδασκαλίας

Το μάθημα (όπως και όλο το ΠΜΣ) προσφέρεται διαδικτυακά. 

Περιλαμβάνει παρουσιάσεις θεωρίας, διαδραστική ανάπτυξη αριθμητικών εργαλείων (για απλά προβλήματα με μολύβι και χαρτί) και διαδραστικό προγραμματισμό των εργαλείων (σε Matlab, για απλότητα και συντομία).

Ανατίθενται επίσης σύντομες εργασίες εμπέδωσης, αντίστοιχες αυτών που λύνονται στις συναντήσεις.

Μέθοδοι αξιολόγησης

Οι φοιτητές αξιολογούνται με βάση την ενεργό συμμετοχή τους στο μάθημα, την εκπόνηση των εργασιών κατά την διάρκεια του εξαμήνου (τις οποίες υποβάλλουν διαδικτυακά) και μια γραπτή εξέταση δια ζώσης στο τέλος του εξαμήνου. 

Προαπαιτούμενα

Όλες οι απαιτούμενες γνώσεις επαναλαμβάνονται και εμπεδώνονται στο μάθημα και κατόπιν επεκτείνονται και εφαρμόζονται στο πλαίσιο της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων.

Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται εισαγωγικές γνώσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, διαφορικών εξισώσεων και ολοκληρωτικών ταυτοτήτων, διανυσματικού λογισμού και γραμμικής άλγεβρας, αριθμητικής ανάλυσης και δομημένου προγραμματισμού (σε οποιαδήποτε γλώσσα). 

Διδάσκοντες

Βίκτωρ Μπαλόπουλος

Αναπληρωτής Καθηγητής ΔΠΘ

Ειδικότητα: "Αναλυτικές και Υπολογιστικές Μέθοδοι σε Εφαρμογές Πολιτικού Μηχανικού"

Γραφείο Β.2.4, Κτίριο Β Πολιτικών Μηχανικών, Κιμμέρια

vbalop@civil.duth.gr, vbalop@gmail.com

6977368036