Παρουσίαση/Προβολή

(TMA588) -  Σταμάτιος-Άγγελος Αλεξανδρόπουλος

Περιγραφή Μαθήματος

Ο τομέας της Εφαρμοσμένης Αριθμητικής Ανάλυσης (ΕΑΑ) είναι ένας σημαντικός τομέας στο χώρο των μαθηματικών, που βρίσκει πληθώρα εφαρμογών σε ποικίλους επιστημονικούς τομείς και κλάδους της τεχνολογίας. Ήδη από την αρχαιότητα, η έννοια και σημασία της Αριθμητικής Ανάλυσης κατείχε σημαντική θέση στη ζωή των μαθηματικών και φιλοσόφων της εποχής.

Παρά τις συχνές αναφορές των αρχαίων Ελλήνων, οι ρίζες της Αριθμητικής Ανάλυσης χάνονται στα βάθη των αιώνων και για το λόγο αυτό είναι δύσκολο να δώσει κάποιος αυστηρό ορισμό του επιστημονικού αυτού κλάδου. Στη σύγχρονη ιστορία των μαθηματικών η Αριθμητική Ανάλυση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών (γι' αυτό και συχνά συναντάμε τον τίτλο Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση), που καταπιάνεται με τη διακριτοποίηση «συνεχών» προβλημάτων των Μαθηματικών και του πραγματικού κόσμου, των οποίων τη λύση θέλουμε να προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας μια αριθμητική μέθοδο, δηλαδή έναν αλγόριθμο. Συμπερασματικά, παρέχει λύση σε πολλά προβλήματα της πραγματικής ζωής, που δεν επιλύονται με χρήση κλειστών μαθηματικών τύπων (δηλαδή δεν μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά με τη χρήση μεθόδων από τον τομέα των θεωρητικών μαθηματικών). Συγκεκριμένα, ο τομέας της ΕΑΑ δύναται να παρέχει ικανοποιητικές προσεγγίσεις μέσω κατάλληλων αριθμητικών μεθόδων, δηλαδή μεθόδων, οι οποίες παρέχουν με ακρίβεια και βεβαιότητα το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα με το μικρότερο δυνατό υπολογιστικό κόστος σε συνδυασμό με το μικρότερο δυνατό απαιτούμενο χώρο αποθήκευσης.

Οι θεματικές ενότητες στις οποίες δύναται να χωριστεί η παράδοση του μαθήματος είναι οι παρακάτω:

(α) Εισαγωγικές έννοιες: Θα μελετήσουμε τη χρησιμότητα και την αναγκαιότητα της Εφαρμοσμένης ΑριθμητικήςΑνάλυσης σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Ακόμα, θα παραθέσουμε βασικές έννοιες τηςαριθμητικής ανάλυσης, καθώς, επίσης, και έννοιες για την συμπεριφορά αριθμητικών μεθόδων υπολογισμούπροσεγγιστικών λύσεων.

(β) Ρίζες γραμμικών συναρτήσεων μίας μεταβλητής: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η ανάπτυξη μεθόδων εύρεσηςριζών συναρτήσεων μιας μεταβλητής και ο συσχετισμός τους με τις αντίστοιχες μεθόδους εύρεσης ριζώνσυναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε αριθμητικές μεθόδους για συναρτήσεις μιαςμεταβλητής και ακολούθως, θα παρουσιάσουμε τους βασικούς άξονες συσχετισμού με τις αντίστοιχες γενικευμένεςαριθμητικές μεθόδους. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα αυτών των μεθόδων και θα μελετήσουμεδιεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητά τους. Τέλος, θα μελετήσουμε το πρόβλημα της εύρεσηςόλων των ριζών μη–γραμμικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής.

(γ) Επίλυση γραμμικών συστημάτων: Σε αυτή τη θεματική ενότητα θα παρουσιάσουμε βασικές έννοιες καιιδιότητες πινάκων, καθώς και το συσχετισμό τους με έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ακόμα, θα προσεγγίσουμετο πρόβλημα επίλυσης γραμμικών συστημάτων αναλύοντας βασικές επαναληπτικές μεθόδους. Τέλος, θα γίνει μιασύντομη εισαγωγή στη γενίκευση επαναληπτικών μεθόδων αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων στιςαντίστοιχες μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων. Έτσι, θα μελετήσουμε επαναληπτικέςμεθόδους αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων και θα αναλύσουμε την αντιστοίχιση με μεθόδους επίλυσηςσυστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων.

(δ) Πεπερασμένες διαφορές: Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιαστούν και θα μελετηθούν οι έννοιες των προς ταεμπρός, προς τα πίσω, κεντρικών και διαιρεμένων διαφορών, όπως και οι μεταξύ τους σχέσεις. Επιπλέον, θασταθούμε στη συμπεριφορά των τιμών στους πίνακες διαφορών, όταν οι τιμές αυτές προσφέρονται από έναπολυώνυμο. Στα πλαίσια αυτά θα μελετήσουμε και θα αναλύσουμε τον τρόπο εύρεσης ενός πολυωνύμου, το οποίοπαρεμβάλλει ένα σύνολο τιμών.

(ε) Θεωρία προσέγγισης: Σε αυτή τη θεματική ενότητα θα παρουσιάσουμε σημαντικές έννοιες της αριθμητικήςανάλυσης όπως αυτή της παρεμβολής και παρεκβολής. Θα παρουσιάσουμε τη χρησιμότητα αυτών των εννοιών, όπωςεπίσης, διαδικασίες για τον τρόπο εφαρμογής τους. Τέλος, θα μελετήσουμε κριτήρια επιλογής των κατάλληλωνδιαδιακασιών για την αποτελεσματική προσέγγιση προβλημάτων παρεμβολής και παρεκβολής.

(στ) Αριθμητική παραγώγιγση: Στόχος αυτής της θεματικής ενότητας είναι η παρουσίαση και ανάλυση, όπως και ηεπεξήγηση της χρησιμότητας της αριθμητικής παραγώγισης. Επιπλέον, θα μελετήσουμε και θα εκτιμήσουμε τησυμπεριφορά διαδικασιών που μας προσφέρουν ικανοποιητική λύση στο πρόβλημα της αριθμητικής παραγώγισης.

(ζ) Αριθμητική ολοκλήρωση: Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε διαδικασίες υπολογισμού της ολικήςμεταβολής μιας ποσότητας, θα παρουσιάσουμε τη χρησιμότητα, όπως και τις εφαρμογές σε ποικίλα προβλήματααυτών των διαδικασιών.

(η) Αριθμητική επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων: Πρωταρχικός στόχος αυτής της ενότητας είναι ηπαρουσίαση των βασικών εννοιών και διαδικασιών της αριθμητικής επίλυσης Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων.Συνεπώς, θα παρουσιάσουμε τη σημασία και χρησιμότητα της αριθμητικής επίλυσης σε ποικίλους κλάδους τηςεπιστήμης, όπως και τη συμβολή των αριθμητικών μεθόδων στη προσέγγιση προβλημάτων αρχικών τιμών. Μέροςτης παραπάνω μελέτης θα αποτελέσουν έννοιες για τη συμπεριφορά λύσεων Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων καιτέλος, η συμπεριφορά αριθμητικών μεθόδων για την προσέγγιση των λύσεων σε προβλήματα αρχικών τιμών πρώτηςή και μεγαλύτερης τάξης.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τρίτη 6 Οκτωβρίου 2020