Διαφορικές Εξισώσεις και Μετασχηματισμοί (Φ01Υ)

Μελέτη συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Εξισώσεις πρώτης τάξης: χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές, πλήρεις, Bernoulli, Ricatti. Ισογώνιες τροχιές. Αναλυτικές, γραφικές και αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης Δ.Ε. πρώτης τάξης. Γραμμικές Δ.Ε. ανώτερης τάξης: ομογενείς και μη ομογενείς. Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών Δ.Ε, ομογενών και μη ομογενών. Υποβιβασμός τάξης. Ομογενείς και μη ομογενείς Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές και μέθοδοι επίλυσης αυτών. Συστήματα Δ.Ε.: Ορισμοί, σχέση μεταξύ λύσεων συστημάτων Δ.Ε. και Διαφορικής Εξίσωσης ανώτερης τάξης. Γραμμικά ομογενή και μη ομογενή συστήματα Δ.Ε. πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μέθοδοι επίλυσης ομογενών συστημάτων: με ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, με εκθετικό πίνακα. Τύπος μεταβολής παραμέτρων. Επίλυση ειδικής μορφής μη ομογενών γραμμικών συστημάτων Δ.Ε.. Λύση διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με τη μέθοδο δυναμοσειρών. Αναλυτικά, συνήθη, ιδιάζοντα και κανονικά ιδιάζοντα σημεία Δ.Ε.. Ύπαρξη αναλυτικών λύσεων σε περιοχή αναλυτικών σημείων Δ.Ε.. Λύση σε κανονικά ιδιάζοντα σημεία. Μιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις συναρτήσεις. Συνεχείς και ολόμορφες μιγαδικές συναρτήσεις. Σύμμορφες απεικονίσεις. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στο μιγαδικό επίπεδο. Ολοκλήρωση αναλυτικών συναρτήσεων. Σειρές Laurent. Στοιχεία από τη θεωρία των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Σειρές και μετασχηματισμοί Fourier. Μετασχηματισμοί Laplace. Ορισμοί. Ιδιότητες και αντιστροφή των μετασχηματισμών Laplace. Το θεώρημα συνέλιξης. Συνάρτηση αποκοπής. Ευστάθεια.. Εφαρμογή στη λύση προβλημάτων αρχικών τιμών και συστημάτων Δ.Ε..