ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

Δημήτριος Γεωργίου

Περιγραφή

Η ενασχόλιση με επιστήμες όπως: εκείνη των Υπολογιστών (Computer Science), της Επιχειρησιακής Έρευνας   (Operational Research), ή της Διοικήσεως των Eπιχειρήσεων (Bussines Administration), απαιτεί ικανότητες ανάλυσης και σύνθεσης προβλημάτων, δημιουργικότητα επινοητικότητα και νοητική ευστροφία. Επιπλέον απαιτεί και τη γνώση μιας πλειάδας μαθηματικών εργαλείων που αναφέρονται σε διακριτούς χρόνους. Η Φυσική όμως, και ιδιαίτερα οι εφαρμοσμένη Φυσική στις περιοχές της Μηχανικής και του Ηλεκτρισμού επιβάλλει την εξαιρετική οξύνοια και απόλυτη κατανόηση του επιστημονικού της περιεχομένου καθώς και των μεθοδολογιών που χρησιμοποιεί.

Οι ικανότητες που αναγνωρίζονται ως ενγενείς στους φοιτητές των Πολυτεχνείων και των Πολυτεχνικών Σχολών ενισχύονται με την ανώτερη μαθηματική παιδεία που παρέχεται μέσα από τα προπτυχιακά προγράμματα σπουδών. Οι γνώση όμως των ειδικών μεθόδων (εργαλείων δουλειάς) που αναφέρθηκαν παρέχεται μέσα από την ενασχόληση με την περιοχή των  Διακριτών Μαθηματικών. Ο μηχα

Περισσότερα  

Ενότητες

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

Η Συνδιαστική[1]  είναι η περιοχή των μαθηματικών που ασχολείται με την ανάπτυξη τεχνικών απαρίθμησης συμπλεγμάτων. Για το λόγο αυτό, συχνά αναφέρεται και ως Συμπλεκτική. Συμπλέγματα είναι οικογένειες συνόλων (συνήθως πεπερασμένες) με συγκεκριμένες χαρακτηριστικές δομές στα στοιχεία ή τα υποσύνολά τους. Οι μέθοδοι της Συνδιαστικής επιτρέπουν την ταχεία απαρίθμηση των στοιχείων τέτοιων συμπλεγμάτων. Ο όρος απαρίθμηση των στοιχείων ενός συμπλέγματος, που χρησιμοποιείται στο παρόν κείμενο, αναφέρεται σε αρκετές βασικές δομές συμπλεγμάτων, όπως εκείνη της απαρίθμησης όλων των δυνατών συνδυασμών ν στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου που αποτελείται από μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων από το ν. Συνεπώς, είναι δύσκολο να αναφέρουμε σ’ αυτή τη σελίδα όλα τα θέματα που μπορεί να αντιμετωπίσει κάποιος στην πρώτη του προσέγγιση στη συνδυαστική ανάλυση. Επίσης, επειδή το θέμα είναι εξαιρετικά χρήσιμο, η Συνδυαστική  αποτελεί προαπαιτούμενη γνώση για την κατανόηση της Στοιχειώδους Θεωρίας Πιθανοτήτων, της Στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών και της Θεωρίας Γραφημάτων. Για τη Θεωρία Πιθανοτήτων η χρησιμότητα της Συνδυαστικής Αναλύσεως εντοπίζεται κυρίως στην απαρίθμηση των στοιχείων των πεπερασμένων δειγματικών χώρων.

Μια συλλογή στοιχείων, που σχηματίστηκε με ένα συγκεκριμένο τρόπο, καλείται σύμπλεγμα.

Στη Συνδυαστική Ανάλυση περιλαμβάνονται και πλέον πολύπλοκες μέθοδοι αρίθμησης συνόλων. Για παράδειγμα, οι δείκτες ακολουθιών συνόλων συχνά απεικονίζονται σε σειρές δυνάμεων που μορφοποιούν έτσι τις γεννήτριες συναρτήσεις, οι οποίες μπορούν μετά να αναλυθούν χρησιμοποιώντας τεχνικές της Μαθηματικής Ανάλυσης. (Αφού πολλές μέθοδοι απαρίθμησης περιλαμβάνουν διωνυμικούς συντελεστές, δεν εκπλήσσεται κανείς από την εμφάνιση της υπεργεωμετρικής συνάρτησης). Σε μερικές περιπτώσεις η αρίθμηση είναι ασυμπτωτική (για παράδειγμα, οι εκτιμήσεις για το πλήθος των διαμερισμών ενός ακεραίου). Σε αρκετές περιπτώσεις η αρίθμηση μπορεί να γίνει με έναν καθαρά συνθετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας «στοιχειώδη λογισμό». Συνδιαστικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντελεστών χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό ταυτοτήτων μεταξύ συναρτήσεων, ειδικά μεταξύ απείρων αθροισμάτων ή γινομένων όπως οι γνωστές ταυτότητες Ramanujan.

Μια περιοχή της Συνδυαστικής, που δεν εντάσσεται όμως στην περιοχή των τεχνικών απαρίθμησης, είναι η μελέτη των μορφών σχεδίασης, δηλαδή συνόλων και των υποσυνόλων τους διατεταγμένων σε πολύ συμμετρικές ή ασύμμετρες μορφές. Από αυτές, ίσως τα πιο γνωστά είναι τα Λατινικά τετράγωνα (διατάξεις στοιχείων σε ορθογώνιο πίνακα χωρίς επαναλήψεις σε σειρές ή στήλες). Επίσης γνωστό είναι το επίπεδο Fano (επτά σημεία που ανήκουν σε επτά «ευθείες», κάθε μία με τρία σημεία), που υποδεικνύουν τη σχέση με πεπερασμένες γεωμετρίες. (Με κατάλληλη αξιωματική θεμελίωση, αυτά τείνουν να έχουν τη μορφή γεωμετριών υπέρ πεπερασμένων πεδίων, αν και τα πεπερασμένα επίπεδα είναι πιο ευέλικτα.) Τα μιτροειδή (matroids) μπορούν να εξεταστούν ως γενικευμένες γεωμετρίες και γι’ αυτό συμπεριλαμβάνονται επίσης στη Συνδιαστική. Ας σημειωθεί ότι τα γραφήματα είναι μορφές αποτελούμενες από σύνολο σημείων και σύνολο ακμών που συνδέουν ζεύγη σημείων, και σε ό,τι αφορά τη Συνδιαστική συμπεριλαμβάνονται μόνο τα κανονικά γραφήματα, όπως τα πλήρη, τα γραφήματα Kuratovsky κ.ά.).

Αν μια διαδικασία μπορεί να χωριστεί σε δυο διακριτές φάσεις έτσι ώστε, η πρώτη φάση να είναι εφικτή με  τρόπους ενώ η δεύτερη φάση να πραγματοποιείται με  τρόπους, τότε η διαδικασία αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με  τρόπους.

Παράδειγμα

Προκειμένου να συγκροτηθεί μια τριμελής επιτροπή με συμμετοχή ενός Ηλεκτρολόγου Μηχανικού, ενός Συγκοινωνιολόγου και ενός Στατιστικού, διατίθενται  Ηλεκτρολόγοι,  Συγκοινωνιολόγοι και  Στατιστικοί. Η επιτροπή μπορεί να συσταθεί με mxn τρόπους, γατί σε κάθε  Συγκοινωνιολόγο αντιστοιχούν  Στατιστικοί , ενώ σε κάθε ζεύγος συγκοινωνιολόγων-στατιστικών αντιστοιχούν  Ηλεκτρολόγοι Μηχανικοί. Οι συνθέσεις των επιτροπών αυτών απεικονίζονται και με δένδρο , όπου η κάθε γενιά αντιστοιχεί σε μια επαγγελματική ειδικότητα.

 

 

[1]    Combinatorics

Μαθηματική θεμελίωση της Λογικής - Αλγεβρα Boole

Σύμφωνα με μια διατυπωμένη αντίληψη από τον Tweedledee για τη φιλοσοφία της λογικής,  η λογική δεν είναι αναλοίωτη έννοια. Εφαρμόζεται για παράδειγμα, σε διαφορετικές μελέτες, ως παραγωγική (deductive) και ως επαγωγική (inductive) λογική. Η φιλοσοφία της επαγωγικής λογικής, όμως, δεν θα διακρινόταν από την κύρια κατεύθυνση της φιλοσοφίας, τη θεωρία της γνώσης. Αυτό που απαιτεί κάπως ξεχωριστή φιλοσοφία είναι η παραγωγική λογική, το αντικείμενο μελέτης που είχε στο νου του ο Tweedledee. Σύμφωνα με ένα θεωρητικό ορισμό του ίδιου αντικειμένου θα έλεγε κανείς ότι η λογική είναι η συστηματική μελέτη των λογικών αληθειών. Επειδή .ομως είναι κοινά αποδεκτό ότι η λογική είναι συνισταμένη δύο συνιστωσών, της αλήθειας και της γραμματικής, θα πρέπει να επιμείνουμε στην αλήθεια και τη γραμματική. Ενάντια στο δόγμα, οι λογικές αλήθειες είναι αληθείς δυνάμει της γραμματικής ή της γλώσσας.

Οι φιλοσοφικές προσεγγίσεις στη λογική οδήγησαν συχνά σε σύγχυση και οποσδήπποτε σε πλήρη αδυναμία σύνθεσης μιας συπαγούς και αναλοίωτης μεθοδολογίας, ικανής να αποτελέσει ένα αξιόπιστο επιστημονικό εργαλείο. O George Boole με εξαιρετική φιλοσοφική σκέψη αλλά και βαθειά γνώση των δυνατοτήτων μαθηματικών δομών, όπως η άλγεβρες, εισάγει την περίφημη άλγεβρα της λογικής. Θεωρεί, με βάση την γενική αλγεβρική θεωρία, ότι το σύνολο των λογικών στοιχείων εφοδιασμένο με τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης, θα μπορούσε να αποτελέσει τη βάση για να δομηθεί η νέα άλγεβρα της λογικής. Μελετά στη συνέχεια μια προς μία τις ιδιότητες των πράξεων και διαπιστώνει την κλειστότητα του συνόλου των λογικών στοιχείων ως προς τις εν λόγω πράξεις, καθώς και μια σειρά άλλων ιδιοτήτων που ισχύουν στη συγκεκριμένη δομή. Έτσι, καταλήγει στην άλγεβρα της λογικής, που φέρει σήμερα το όνομα του εισηγητή της.

Ημερολόγιο

Προθεσμία
Γεγονός μαθήματος
Γεγονός συστήματος
Προσωπικό γεγονός

Ανακοινώσεις

περισσότερα…