Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική (νέο)

Επαμεινωνδας Διαμαντοπουλος

Περιγραφή

Στο 1ο μάθημα (Παρασκευή 25/02) παρουσιάστηκε ο ορισμός της πιθανότητας (κλασικός και αξιωματικός), οι κανόνες λογισμού ενδεχομένων και οι έννοιες των ξένων και των ανεξάρτητων ενδεχομένων.

Επιπλέον, ασχοληθήκαμε με προβλήματα συνδυαστικής παρουσιάζοντας αναλυτικά τις μεταθέσεις ενός συνόλου n στοιχείων και τις διατάξεις n στοιχείων ανά κ.

Στο 2ο μάθημα (11/03) συνεχίσαμε τη συζήτηση για τις διατάξεις και τους συνδυασμούς και λύσαμε σχετικά προβλήματα. Μετά, παρουσιάστηκε η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας, παρουσιάστηκε ο Νόμος της Ολικής Πιθανότητας και ο κανόνας του Bayes. Τέλος, παρουσιάστηκε η έννοια της ευαισθησίας και της ειδικότητας όπως το γράφημα ROC.

Λεπτομέρειες για τα επόμενα μαθήματα υπάρχουν στο σχολιασμό της αντίστοιχης ενότητας.

Ενότητες

Συνημμένες είναι οι βαθμολογίες των εξετάσεων Σεπτεμβρίου. Διευκρινήσεις επί των γραπτών μπορούν να δοθούν ύστερα από προηγούμενη ενημέρωση με email.

Οι βαθμοί θα περαστούν στο universis την Τετάρτη 21 Σεπτεμβρίου.

 

Συνημμένα τα θέματα των εξετάσεων της Τετάρτης 14 Σεπτεμβρίου 2022, μαζί με ενδεικτικές λύσεις.

Η ύλη του μαθήματος για τις εξετάσεις του Σεπτεμβρίου θα είναι ακριβώς η ίδια με αυτήν της εξέτασης του Ιουνίου, δηλαδή:

Θεωρία Πιθανοτήτων
1. Ορισμός Πιθανότητας. Ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Δεσμευμένη πιθανότητα. Ολικός νόμος πιθανότητας. Κανόνας του Bayes.
2. Διωνυμική κατανομή και κανονική προσέγγιση.
3. Κατανομή Poisson και κανονική προσέγγιση.
4. Κανονική κατανομή. Πίνακας πιθανοτήτων τυποποιημένης κανονικής κατανομής.

Στατιστική
1. Διάστημα εμπιστοσύνης.
2. Δοκιμασία χι-τετράγωνο (ως δοκιμασία προσαρμογής ή ως δοκιμασία ανεξαρτησίας)
3. Δοκιμασία t – test για ένα δείγμα ή για δύο ανεξάρτητα δείγματα (μονόπλευρος και δίπλευρος έλεγχος).
4. Γραμμική παλινδρόμηση.

Τα θέματα θα είναι τέσσερα (4) και θα πρέπει να επιλυθούν όλα. Τα 2 θα αφορούν τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τα 2 τη Στατιστική. Η διάρκεια της εξέτασης θα είναι 2 ώρες και 15 λεπτά. Τυπολόγιο θα δοθεί μαζί με τα θέματα.

Επιπλέον, η συμμετοχή ενός φοιτητή στις ασκήσεις του μαθήματος το εξάμηνο που πέρασε θα ενισχύσει το βαθμό της εξέτασης σε ποσοστό 10%.

Στο συνημμένο αρχείο μπορείτε να βρείτε

(α) τις βαθμολογίες των γραπτών.

(β) τους τελικούς βαθμούς του μαθήματος.

Σε περίπτωση που απαιτούνται διευκρινήσεις για το βαθμό ή εντοπιστεί κάποια άλλη ανακρίβεια, ενημερώστε με και θα απαντήσω την Δευτέρα. Την Πέμπτη 30 Ιουνίου θα περαστούν οι βαθμοί στο σύστημα και θα αναρτηθεί μία ακόμα ανακοίνωση σχετικά με τις εξετάσεις του Σεπτεμβρίου.

UPDATE 21/06/2022: Τα θέματα με τις ενδεικτικές τους λύσεις έχουν αναρτηθεί στα έγγραφα του μαθήματος.

 

Η εξέταση θα γίνει την Τρίτη 21/06. Η ύλη των εξετάσεων είναι:

Πιθανότητες
1. Ορισμός Πιθανότητας. Ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Δεσμευμένη πιθανότητα. Ολικός νόμος πιθανότητας. Κανόνας του Bayes.
2. Διωνυμική κατανομή και κανονική προσέγγιση.
3. Κατανομή Poisson και κανονική προσέγγιση.
4. Κανονική κατανομή. Πίνακας πιθανοτήτων τυποποιημένης κανονικής κατανομής.

Στατιστική
1. Διάστημα εμπιστοσύνης.
2. Δοκιμασία χι-τετράγωνο (ως δοκιμασία προσαρμογής ή ως δοκιμασία ανεξαρτησίας)
3. Δοκιμασία t – test για ένα δείγμα ή για δύο ανεξάρτητα δείγματα (μονόπλευρος και δίπλευρος έλεγχος).
4. Γραμμική παλινδρόμηση.

Τα θέματα θα είναι τέσσερα (4) και θα πρέπει να επιλυθούν όλα. Τα 2 θα αφορούν τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τα 2 τη Στατιστική. Η διάρκεια της εξέτασης θα είναι 2 ώρες και 15 λεπτά. Τυπολόγιο θα δοθεί μαζί με τα θέματα.

Στο μάθημα της Παρασκευής 25/02 παρουσιάστηκε ο ορισμός της πιθανότητας (κλασικός και αξιωματικός), οι κανόνες λογισμού ενδεχομένων και οι έννοιες των ξένων και των ανεξάρτητων ενδεχομένων.

Επιπλέον, ασχοληθήκαμε με προβλήματα συνδυαστικής παρουσιάζοντας αναλυτικά τις μεταθέσεις ενός συνόλου n στοιχείων και τις διατάξεις n στοιχείων ανά κ.

Από τις ασκήσεις λύσαμε τις 1 έως 34.

Στο 2ο μάθημα (11/03) συνεχίσαμε τη συζήτηση για τις διατάξεις και τους συνδυασμούς και λύσαμε σχετικά προβλήματα. Μετά, παρουσιάστηκε η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας, παρουσιάστηκε ο Νόμος της Ολικής Πιθανότητας και ο κανόνας του Bayes. Τέλος, παρουσιάστηκε η έννοια της ευαισθησίας και της ειδικότητας όπως το γράφημα ROC.

Στο μάθημα αυτό παρουσιάστηκε ο ορισμός της τυχαίας μεταβλητής, και μετά εστιάσαμε στα βασικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά κατανομής μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής (αναμενόμενη τιμή, διακύμανση, τυπική απόκλιση, επικρατούσα τιμή, διάμεσος, συντελεστής ασυμμετρίας, συντελεστής κυρτότητας) όπως και οι βασικές συναρτήσεις που συνδέονται με αυτήν (συνάρτηση μάζας πιθανότητας, συνάρτηση κατανομής, ροπογεννήτρια και πιθανογεννήτρια).

Επιπλέον, για ζεύγος δύο μεταβλητών, παρουσιάστηκαν οι βασικές συναρτήσεις που αφορούν την κοινή κατανομή (κοινής συνάρτηση μάζας πιθανότητας, κοινή συνάρτηση κατανομής, περιθώριες συναρτήσεις μάζας πιθανότητας και περιθώριες συναρτήσεις κατανονών, δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής) καιβασικά μέτρα που ποσοτικοποιούν τη σχέση των δύο μεταβλητών (συνδιακύμανση και συντελεστής συσχέτισης Pearson).

Στο μάθημα αυτό έγινε μία μικρή επανάληψη των εννοιών του 3ου μαθήματος. Μετά παρουσιάστηκαν οι εξής κατανομές διακριτών τ.μ.

1. Κατανομή Bernoulli

2. Διωνυμική κατανομή

3. Υπεργεωμετρική κατανομή.

4. Κατανομή Poisson.

Στο μάθημα αυτό ολοκληρώθηκε η παρουσίαση των σημαντικότερων διακριτών κατανομών με τη γεωμετρική και την αρνητική διωνυμική κατανομή. Υστερα, ξεκινήσαμε τη μελέτη των συνεχών κατανομών, παρουσιάζοντας τη γενική θεωρία και τις ειδικότερες ιδιότητες της ομοιόμορφης και της εκθετικής κατανομής.

Στο μάθημα αυτό παρουσιάστηκε η κανονική κατανομή, συζητήθηκε η ικανότητα προσέγγισης της διωνυμικής και της Poisson κατανομής από την κανονική και λύθηκαν σχετικές ασκήσεις. Επιπλέον, έγινε αναφορά στις κατανομές Γάμμα, x2(n), Βήτα και Erlang. Τέλος, λύθηκαν κάποιες απλές ασκήσεις με συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών.

Στην ενότητα αυτή συνημμένοι είναι οι κωδικοί με τους οποίους μπορούν οι φοιτητές που έχουν παρακολουθήσει σημαντικό μέρος των διαλέξεων να προχωρήσουν στην αξιολόγηση της διαδικασίας.

Στο μάθημα αυτό ξανασυζητήθηκε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα και λύθηκαν σχετικές ασκήσεις. Επιπλέον, αποδείχθηκε το βασικό θεώρημα σχετικά με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής για μονότονη και συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση. Περαιτέρω, αναφέρθηκαν οι κατανομές Student t(n) και F(d1, d2). Με τις αναφορές αυτές ολοκληρώθηκε η ύλη του μαθήματος των Πιθανοτήτων.

Στη συνέχεια έγινε η εισαγωγή στο μάθημα της Στατιστικής. Αναφέρθηκαν οι βασικοί τρόποι δειγματοληψίας και έγινε παρουσίαση των βασικών στατιστικών με τα οποία μπορεί να περιγραφούν οι τιμές ενός δείγματος. Στη συνέχεια, με εφαρμογή του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος βρέθηκε η κατανομή του δειγματικού μέσου και από αυτήν υπολογίστηκε το 95% και το 99% διάστημα εμπιστοσύνης για την άγνωστη μέση τιμή του πληθυσμού.

Στο μάθημα αυτό παρουσιάστηκε το διάστημα εμπιστοσύνης για την αναλογία ενός χαρακτηριστικού στον πληθυσμό και βρέθηκαν και οι τύποι με τους οποίους μπορούν να υπολογιστεί το μέγεθος του δείγματος για μέση τιμή ή αναλογία. Στη συνέχεια, παρουσιάστηκαν τα βασικά βήματα ενός ελέγχου υπόθεσης και αναλύθηκε διεξοδικά η δοκιμασία χι-τετράγωνο ως έλεγχος προσαρμογής/ομοιογένειας ή έλεγχος ανεξαρτησίας. Τέλος, παρουσιάστηκε και ο έλεγχος t - test για ένα δείγμα και λύθηκαν σχετικές ασκήσεις.

Στο μάθημα αυτό λύθηκαν ασκήσεις πάνω στη δοκιμασία χι-τετράγωνο ως έλεγχο προσαρμογής και έλεγχο ανεξαρτησίας, παρουσιάστηκαν οι τρεις εκδοχές του t-test, οι έλεγχοι z-test για αναλογίες πληθυσμού και λύθηκαν σχετικές ασκήσεις. Επιπλέον, συζητήθηκαν οι προυποθέσεις εφαρμογής των παραπάνω δοκιμασιών. Τέλος, συζητήθηκαν οι δύο περιπτώσεις σφαλμάτων που συνοδεύουν ένα στατιστικό έλεγχο υποθέσεων.

Στο μάθημα αυτό παρουσιάστηκε η γραμμική παλινδρόμηση και η εκτίμηση των συντελεστών με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Συζητήθηκε το πρόβλημα της συγγραμικότητας, περιγράφηκε ο μερικός συντελεστής συσχέτισης Pearson και λύθηκαν σχετικές ασκήσεις. Τέλος, έγινε μία σύντομη περιγραφή της μεθόδου της λογιστική παλινδρόμησης.

Στο μάθημα αυτό παρουσιάστηκε η μέθοδος της ανάλυσης διακύμανσης (ANOVA). Μετά έγιναν κάποιες επαναληπτικές ασκήσεις. Δυστυχώς, οι πρωτότυπες σημειώσεις δεν αποθηκευτηκαν σωστά και για το λόγο αυτό επισυνάπτεται το αρχείο pdf χωρίς τα πρόσθετα σχόλια και τις λύσεις.

Ημερολόγιο